Web Audio API を駆使して Firefox かどうか調べる

if (typeof window.PannerNode !== "undefined") {
  alert("お使いのブラウザは Firefox ですね！！");
} else {
  alert("お使いのブラウザは Firefox ではありません！！");
}

おまけ: PannerNode のインスタンスかどうか調べる

function isPannerNode(node) {
  if (typeof window.PannerNode === "function") {
    return node instanceof window.PannerNode;
  }
  if (node instanceof window.AudioNode) {
    return node instanceof node.context.createPanner().constructor;
  }
  return false;
}